En el capítulo anterior hemos trabajado con modelos en espacios muéstrales no dimensionales (el suceso no tiene definida dimensión, ni tiene un ordenamiento), que podemos llamar espacios categóricos pues los resultados son un conjunto de categorías.

Introduciremos ahora la formación de modelos en espacios métricos: los resultados seránnúmeros en el campo de los reales y por ende serán ordenados, tendrán una posición en el espacio muestral. el suceso tendrá una dimensión.

Transformar un espacio muestral (conjunto de resultados) en un conjunto numérico es simple,basta con definir una relación (del punto de vista lógico - matemático) entre el conjunto de losresultados del experimento y el conjunto numérico.


2.2   VARIABLE ALEATORIA

Una variable aleatoria es una función que asigna un valor numérico a cada suceso elemental del espacio muestral.

Es decir, una variable aleatoria es una variable cuyo valor numérico está determinado por el resultado del experimento aleatorio. La variable aleatoria la notaremos con letras en mayúscula X, Y, y con las letras en minúscula x, y, sus valores.

También se puede decir que es un valor numérico que corresponde al resultado de un experimento aleatorio, como la suma de los puntos obtenidos al lanzar dos dados, el número de lanzamientos de un dado hasta que aparece el cuatro, el número de personas que suben en un determinado ascensor al mes, el tiempo de espera en la sala de un doctor.

Otra definición es que es un conjunto o subconjunto de datos agrupados para poder obtener datos tales como la media de la modo en una estadística de un muestreo que funciona con una regla de correspondencia, función que asigna un único número real a cada resultado de un espacio muestral en un experimento.

Variable que cuantifica los resultados de un experimento aleatorio.

Variable que toma diferentes valores como resultado de un experimento aleatorio. Categoría cuantificable que puede tomar diferentes valores cada vez que sucede un experimento o suceso, el valor sólo se conocerá deterministamente una vez acaecido el suceso.

 
                                      

Al conjunto de valores de   R  asignados a los elementos de  E   se le llama recorrido de la variable aleatoria y se representa por   X(E).

 

La variable aleatoria puede tomar un número numerable o no numerable de valores, dando lugar a dos tipos de variable aleatoria: discretas y continuas.

 

Las variables aleatorias pueden ser continuas o discontinuas. En este último caso se denomina también discretas.

 
a)      VARIABLE ALEATORIA CONTINUA.

 Si X es una Variable aleatoria continua, puede tomar cualquier valor de un intervalo continuo o dentro de un campo de variación dado. Las probabilidades de que ocurra un valor dado x están dadas por una función de densidad de probabilidad de que X quede entre a y b. El área total bajo la curva es 1.

b)     VARIABLE ALEATORIA DISCONTINUA O DISCRETA.

Se dice que una Variable aleatoria Discreta o Discontinua X, tiene un conjunto definido de valores posibles x1, x2, x3,..xn con probabilidades respectivas p1,p2,p3,..pn., Es decir que sólo puede tomar ciertos valores dentro de un campo de variación dado. Como X ha de tomar uno de los valores de este conjunto, entonces p1+ p2 ++ pn=1.

En general, una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por P(X = x) se entenderá la probabilidad de que X tome el valor de x. De esta forma, al considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar una función matemática que asigne una probabilidad a cada realización x de la variable aleatoria X. Esta función recibe el nombre de función de la probabilidad.

 

 
LA MEDIA

La media aritmética o promedio, de una cantidad finita de números, es igual a la suma de todos ellos dividida entre el número de sumandos. Es uno de los principales estadísticos muéstrales.

Expresada de forma más intuitiva, se decir que la media (aritmética) es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación.

Por ejemplo, si en una habitación hay tres personas, la media de dinero que tienen en sus bolsillos sería el resultado de tomar todo el dinero de los tres y dividirlo a partes iguales entre cada uno de ellos. Es decir, la media es una forma de resumir la información de una distribución “dinero en el bolsillo” suponiendo que cada observación “persona” tendría la misma cantidad de la variable.

También la media aritmética puede ser denominada como centro de gravedad de una distribución, el cual no es necesariamente la mitad.

Si tenemos el siguiente conjunto de datos y deseamos encontrar un valor  que represente a todo el conjunto, seguramente lo primero que vendrá a nuestra mente es sumar todos los valores y dividirlos entre el número total de datos.

10, 9, 8, 10, 9, 9, 10, 9, 10, 9

Es decir, un valor representativo del conjunto de valores es

           
Este valor, promedio aritmético, es conocido como la media y es una de las medidas de tendencia central ya que representa un valor con respecto a toda la información.

 

VARIANZA

La varianza es una medida de la dispersión de una variable aleatoria respecto a su esperanza.

Es la media aritmética de la suma de los cuadrados de las desviaciones de una variable con respecto a su media. Por tanto, cuanto mayor sea esta medida, menos representativa de la realidad será la media de dicha variable.

La varianza (que es el cuadrado de la desviación estándar: σ2) se define así:

Es la media de las diferencias con la media elevadas al cuadrado.

En otras palabras, para conseguir esto se sigue estos pasos:

1.       Calcula la media (el promedio de los números).

2.       Ahora, por cada número resta la media y eleva el resultado al cuadrado (la diferencia elevada al cuadrado).

3.       Ahora calcula la media de esas diferencias al cuadrado.

 

Pero la pregunta es ¿Por qué al cuadrado?

Pues bien: Elevar cada diferencia al cuadrado hace que todos los números sean positivos (para evitar que los números negativos reduzcan la varianza)

Y también hacen que las diferencias grandes se destaquen. Por ejemplo 1002=10,000 es mucho más grande que 502=2,500.

Pero elevarlas al cuadrado hace que la respuesta sea muy grande, así que se deshace (con la raíz cuadrada) y así la desviación estándar es mucho más útil.

 

DESVIACION ESTANDAR

 

La desviación estándar es una medida del grado de dispersión de los datos del valor promedio, dicho de otra manera, la desviación estándar es simplemente el "promedio" o variación esperada con respecto de la media aritmética.

Una desviación estándar grande indica que los puntos están lejos de la media, y una desviación pequeña indica que los datos están agrupados cerca a la media.

La desviación estándar puede ser interpretada como una medida de incertidumbre. La desviación estándar de un grupo repetido de medidas nos da la precisión de éstas. Cuando se va a determinar si un grupo de medidas está de acuerdo con el modelo teórico, la desviación estándar de esas medidas es de vital importancia: si la media de las medidas está demasiado alejada de la predicción (con la distancia medida en desviaciones estándar), entonces consideramos que las medidas contradicen la teoría. Esto es coherente, ya que las mediciones caen fuera del rango de valores en el cual sería razonable esperar que ocurrieran si el modelo teórico fuera correcto. La desviación estándar es uno de tres parámetros de ubicación central; muestra la agrupación de los datos alrededor de un valor central (la media o promedio).

 

Al modelar un sistema, se debe diferenciar entre dos tipos de datos: Los primeros permanecen sin cambio a travez del tiempo y se conocen como “parametros”; Los segundos presentan cambios a travez del tiempo y se conocen como “variables”.

Por ejemplo, el modelado de un sistema mediante simulacin es útil cuando la información del sistema tiene carácter dinamico y probabilístico, debido principalmente a que la interaccion de esa información es, por lo general, difícil de analizar.

La variabilidad que presenta el segundo tipo de datos debe modelarse deacuerdo con ciertas ecuaciones matematicas que sean capaces de reproducirla; en la mayoría de los casos dicha variabilidad puede clasificarse dentro de alguna distribución de probabilidad. Asi pues, uno de los pasos mas importantes de todo el proceso de modelado estocástico es la búsqueda de información y su análisis estadísticos posterior basado principalmente en la clasificación de cada serie de datos dentro de alguna distribución de probabilidad. Algunas de las distribuciones mas comunes se analizan a continuación.

DISTRIBUCION CONTINUA:

Este tipo de distribuciones se utilizan para modelar la aleatoriedad en aquellas actividades o eventos en los cuales los valores de las variables pueden estar dentro de un rango de valores reales. A continuación se describen algunas de las funciones continuas mas utilizadas

a)

Fig. Grafica de la función de densidad uniforme

b)

Fig. Grafica de la funcion de densidad exponencial

c)

Fig. grafica de la funcion de densidad de weibull

d)

Fig. Grafica de la funcion de densidad triangular

e)

La distribucion normal suele conocerse como la "campana de gauss".