3.1 METODOS PARA GENERAR NUMEROS PSEUDOALEATORIOS
Se llama números pseudoaleatorios a una sucesión deterministica de números en el intervalo [0,1] que tiene las mismas propiedades estadísticas que una sucesión de números aleatorios. Una forma general de obtener números pseudoaleatorios es partir de una semilla de X0 números y aplicar una función d.
Los números pseudoaletorios son necesarios cuando se pone en práctica un modelo de simulación, para obtener observaciones aleatorias a partir de distribuciones de probabilidad.
Los números aleatorios generados en un inicio por una computadora casi siempre son números aleatorios enteros.
En sentido estricto, los números generados por una computadora no se deben llamar números aleatorios porque son predecibles y se pueden reproducir, dado el número aleatorio generador que se use. Por ello en ocasiones se les llama números pseudoaleatorios.
No obstante, el punto importante es que, en forma satisfactoria, hacen las veces los números aleatorios en la simulación si el método que se usa para generarlos es válido.
El procedimiento usado por una computadora para generar números aleatorios se llama generador de números aleatorios.
La referencia a secuencias de números aleatorios significa que el algoritmo produce muchos números aleatorios en serie.
PROPIEDADES MÍNIMAS QUE DEBERÁN SATISFACER LOS NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS:
*Ajustarse a una distribución U (0,1).
*Ser estadísticamente independientes (no debe deducirse un numero conociendo otros ya generados).
*Ser reproducibles (la misma semilla debe dar la misma sucesión).
*Ciclo repetitivo muy largo.
*Facilidad de obtención.
*Ocupar poca memoria.
Deben ser:
1. Uniformemente distribuidos
2. Estadísticamente independientes
3. Reproducibles
4. Sin repetición dentro de una longitud determinada de la sucesión
5. Generación a grandes velocidades
6. Requerir el mínimo de capacidad de almacenamiento
- Entrada - Parámetros, etc.
De los sistemas que se van a simular. Aquí nos concentraremos exclusivamente sobre la variable aleatoria con función de distribución de probabilidad uniforme.
En la práctica para generar números aleatorios se pueden utilizar los siguientes métodos:
- Métodos manuales - Tablas estadística - Método de computación digital
METODOS MANUALES
Aunque son las más simples son los menos prácticos y muy lentos; los dispositivos usados son; dados, monedas, barajas, ruletas combinaciones de estas.
TABLAS ESTADISTICAS
Existen publicados en el libro de estadísticas gran números de tablas de números aleatorios, por supuestos estos números tuvieron que ser generados por algunos de los métodos manuales antes de ser impresas.
Sin embargo, al utilizar la computadora digital, anteriormente no era conveniente su almacenamiento pues requería gran capacidad de memoria.
METODO DE COMPUTACION DIGITAL
En consecuencia se han desarrollado algoritmos para generar lo que se denomina pseudoaleatorios. Dos de los métodos más usados son:
· Métodos de los cuadrados del medio
· Método de la congruencia
METODOS DE LOS CUADRADOS DEL MEDIO [PRO1]
Consiste de los siguientes pasos (algoritmos):
1. Se toma un numero aleatorio X0 de 4 dígitos llamado raíz o semilla y se eleva al cuadrado.
2. Se toma la parte media de la cantidad obtenida como numero aleatorio X, y se repite el procedimientos tantas veces como número que desee obtener, observando que no se repita algún numero ya obtenido, puesto que esto ocurre, se dice que el método a cumplido con su ciclo y lo cual rompe la cadena y ya no se puede generar mas números, entonces se desecha la semilla y se vuelve a iniciar el método con otra raíz.
3. Cuando la cantidad obtenida tiene un número impar de dígitos hay que definir una parte media, esto es, los dígitos más significativos o menos significativos.
EJEMPLO;
Generar 10 números aleatorios por el método de los cuadrados del medio, tomando como semilla X0 = 1990
X0 = 1990 X02 = 3960100
X1 = 9601 X12 = 92179201
X2 = 1792 X22 = 3211264
X3 = 2112 X32 = 4460544
X4 = 4605 X42 = 21206025
X5 = 2060 X52 = 4243600
X6 = 2436 X62 = 5934096
X7 = 9340 X72 = 87235600
X8 = 2356 X82 = 5550736
X9 = 5507 X92 = 30327049
X10 = 3270 X102 = 10692900
X11 = 6929
Nota: son números decimales, son números pseudoaleatorios, son determinísticos.
METODO DE LA CONGRUENCIA [PRO2]
Aunque es más complicado, puede producir ciclos más grandes. Este método consiste en utilizar la siguiente forma recursiva:
Xn+1 = (Axón + C) mod M
Donde;
X0 = Raíz o semilla C= Incremento
A = Multiplicador M = Modulo
Es decir Xn+1 es el residuo de dividir AXn entre M.
Ahora bien los parámetros X0, A, C, M deben cumplir las siguientes condiciones:
X0 >= 0, C >= 0, A >= 0, M >= X0, M > A
Cuando A = 1 el método es aditivo
Cuando C = 0 el método es multiplicativo
Cuando A > 1 y C > 0 el método es mixto
EJEMPLO;
Dado los siguientes parámetros:
X0 = 1990 M = 8015 A = 2501 C = 211
Nota: Los parámetros tiene que cumplir con la condición anterior.
Generar 10 números pseudoaleatorios.
X1 = [2501 (1990) + 211] mod 8015 = 7901
X2 = [2501 (7901) + 211] mod 8015 = 3637
X3 = [2501 (3637) + 211] mod 8015 = 7338
X4 = [2501 (7338) + 211] mod 8015 = 6214
X5 = [2501 (6214) + 211] mod 8015 = 0340
X6 = [2501 (0340) + 211] mod 8015 = 0961
X7 = [2501 (0961) + 211] mod 8015 = 7187
X8 = [2501 (7187) + 211] mod 8015 = 5268
X9 = [2501 (5268) + 211] mod 8015 = 6834
X10 = [2501 (6834) + 211] mod 8015 = 4065
X11 = [2501 (4065) + 211] mod 8015 = 1508
3.2 PRUEBAS ESTADISTICAS DE ALEATORIEDAD
PRUEBA ESTADISTICA CHI CUADRADA (X2)
La prueba X2 implica la comparación de frecuencias muéstrales clasificadas en categorías definidas de datos teniendo en todo los casos el patrón esperado de frecuencias.
Por ello, los procedimientos son todos de pruebas de hipótesis y los análisis se utilizan datos de muestras aleatorias.
Como es sabido muchas veces los resultados obtenidos de muestras no siempre concuerdan exactamente con los resultados teóricos esperados según las reglas de probabilidad. Por ejemplo, aunque las consideraciones teóricas conduzcan a esperar 50 águilas y 50 soles cuando se lanza 100 veces una moneda bien hecha, es casi imposible que se obtengan estos resultados.
Supóngase que en una determinada muestra se observa una serie de posibles sucesos E1, E2,…., EK que ocurre con frecuencias fo1, fo2,…., fok, llamados frecuencias observadas y que, según las reglas de probabilidad, se esperan que ocurran con frecuencias fe1, fe2,…., fek, llamadas frecuencias esperadas o teóricas. Una de la medida indescrepancia existentes entre las frecuencias esperadas y frecuencias observadas, es suministrado por el estadístico.
X2 = (fo1 – fe1)2 / fe1 + (fo2 – fe2)2 / fe2 +…….., (fok - fek)2 / fek = ∑kj=1 (foj - fej) / fej
Donde;
fe = frecuencia esperada
fo = frecuencia observada
Donde si el total de frecuencia es N, entonces;
∑foj = ∑ fej = N
Si el estadístico X2 = 0 las frecuencias esperadas y observadas concuerdan exactamente y significa que no hay razón para analizar el estadístico, sin embargo a mayores valores estadísticos X2, mayor es la discrepancia entre dichas frecuencias por lo que es necesario hacer el análisis.
GRADO DE LIBERTAD
Los grados de libertad está dado por ƞ = K – 1
Donde:
Ƞ = grado de libertad
K = casillas de frecuencias
En la práctica las frecuencias esperadas se calculan de acuerdo a la hipótesis H0. Si bajo esta hipótesis el valor calculado del estadístico X2 es mayor que el valor teórico obteniendo en tablas bajo un nivel de significancia (∞) se rechaza, en caso contrario se acepta.
LOS METODOS DE LOS CUADRADOS DE LOS MEDIOS
Producen secuencias de números pseudoaleatorios, los cuales se puedan considerar como aleatorios si cumple con las propiedades de uniformidad de independencia.
La propiedad de uniformidad quiere decir que los números generados tengan independencia a una función de probabilidad uniforme, es decir, que los números tenga la misma posibilidad de salir.
Para esta prueba se puede aplicar la prueba estadística X2, la cual puede construir con los siguientes pasos (algoritmos):
Paso 1.- Encontrar la frecuencia observada (fo) y la frecuencia esperada (fe);
Paso 2.- Las (fo) se obtiene contando el numero de dígitos (0, 1, 2,…, 9) que halla la secuencia de números.
Las (fe) se calculan con la formula
4M/10 donde;
M = número total de secuencia
4 = por que la cantidad es de 4 dígitos
10 = por ser 10 dígitos;
Paso 3.- Calcular el valor ʎ2 = ∑9i=0 (fo - fe)2 / fe;
Paso 4.- Definir un nivel de significancia ∞ y buscar en la tabla estadística de la CHI CUADRADA el valor X2tabla (teórico) con ƞ = K – 1 grado de libertad;
Paso 5.- Hacer la prueba de la hipótesis siguiente:
H0 : “Los números generados son aleatorios”
Si ʎ <= X2tabla se acepta;
Si ʎ > X2tabla se rechaza.
La prueba anterior (uniformidad) nos dice que la secuencia de números tiene asociado una función uniforme, y no obstante en el orden de los números en la secuencia, puede ser de tal manera que haya dudas sobre la aleatoriedad sobre dichos números, es decir, su dependencia para verificar esta propiedad se puede usar las pruebas de las corridas cuya finalidad es evaluar la independencia de los números de la secuencia.
CONCEPTOS:
Corridas: es una sucesión de eventos iguales precedidos o seguidos por un evento diferente.
Longitud de la corrida: es el número de eventos iguales en la corrida.
Corridas Ascendentes y Descendentes: se asocia un signo positivo o negativo (“+” o “-”) a cada numero de la secuencia. El signo positivo si el numero siguiente es igual o mayor y el signo menos si el numero siguiente es menor.
EJEMPLOS;
1.- Dada la siguiente secuencia de numero “X” encontrar el numero de corrida ascendentes y descendentes, así como su longitud.
X1 = 24, 32, 44, 56, 67, 75, 84, 96.
1 corrida de longitud ascendente 7
X2 = 29, 31, 18, 44, 37, 49, 42, 58, 52, 66, 60, 74.
11 corridas de longitud 1
Nota: Estos dos casos X1 y X2, son casos extremos que no garantiza la aleatoriedad.
N0 Xi
1 10 +
2 17 + 1 Hay 5 corridas
3 55 + Longitud 3 ascendentes
4 70 - 2 Longitud 2 descendentes
5 30 - Longitud 1 ascendente
6 13 + 3 Longitud 2 descendentes
7 29 - 4 Longitud 1 ascendente
8 22 -
9 19 + 5
10 24
EJERCICIO
Considerando los números pseudoaleatorios generado por el método de la congruencia, verificar si se puede considerar aleatorio a un nivel de significancia del 10%.
X1 = 5769
X2 = 5071
X3 = 8348
X4 = 0540
X5 = 0122
X6 = 6024
X7 = 4901
X8 = 2838
X9 = 7023
X10 = 1428
METODO DE LA CORRIDA ASCENDENTES Y DESCENDENTES
Paso 1.- Encontrar el valor a1 que es valor de la variable aleatoria que representa el numero de corridas ascendentes y descendentes de la secuencia de numero la cual se disminuye de forma normal.
µa1 = 2n – 1 / 3 y Var a1 = 16n – 29 / 90 donde;
n = total de numero
Paso 2.- Estandarizar la variable aleatoria a1 por la variable aleatoria Zc.
Zc = a1 - µa1 / Δa1, la cual también se distribuye normalmente con µ = 0 y Var = 1 se calcula Z = |Zc|
Paso 3.- “Para ambos métodos”
Buscar el valor de Z teórico (Ztabla) en la tabla de distribución normal con µ = 0 y Var = 1 para una prueba de dos colas a un nivel de confianza beta (β) deseado.
Paso 4.- “Para ambos metodos”
La prueba de hipótesis H0: “los números generados son aleatorios”
Si Zc <= Ztabla se acepta;
Si Zc > Ztabla se rechaza.
METODO DE LA CORRIDA POR ARRIBA Y POR DEBAJO DE LA MEDIA
La prueba anterior no es suficiente para mostrar la independencia de los números de la secuencia, el carácter independiente también se puede obtener utilizando el método de la corrida por arriba y por debajo de la media.
Primeramente se asocian los números en orden y se le asocian con un numero positivo y negativo a cada numero de la secuencia. El signo positivo si el numero es mayor o igual que la media de la secuencia y el signo menos, si el numero es menor que dicha media.
Si la secuencia tiene pocas o muchas corridas, la independencia estará dudosa por lo tanto es necesario aplicar una prueba estadística de dos colas para determinar si se ha presentado uno de los extremos.
Paso 1.- Calcular ẋ = ∑ni=1 Xi / n y el valor ai que es el valor de la variable aleatoria que representa el número de corridas por arriba y por debajo de la media de la secuencia de números, la cual se distribuye de forma normal con:
µ = (2n1n2 / n1 + n2) + 1 y Δa1 = [2n1n2 (2n1n2 - (n1 – n2))] / [(n1 + n2)2(n1 + n2 -1)]
Donde; n1 = numero de observaciones por encima de la media
n2 = numero de observaciones por debajo de la media
Paso 2.- Estandarizar la variable aleatoria ai por la variable aleatoria Zc donde
Zc = (a1 - µa1 / Δa1) y se calcula Z = |Zc|
CRITERIO DE NIVEL DE SIGNIFICANCIA Y NIVEL DE CONFIANZA (∞, β)
La significancia (∞) mide probabilidad de cometer errores, a mayor significancia mayor es el riesgo y viceversa.
El nivel de confianza (β) tiene la misma definición anterior, a mayor nivel de confianza menor es el riesgo de cometer errores.
Donde; n1 = numero de observaciones por encima de la media
n2 = numero de observaciones por debajo de la media
Paso 2.- Estandarizar la variable aleatoria ai por la variable aleatoria Zc donde
Zc = (a1 - µa1 / Δa1) y se calcula Z = |Zc|
CRITERIO DE NIVEL DE SIGNIFICANCIA Y NIVEL DE CONFIANZA (∞, β)
La significancia (∞) mide probabilidad de cometer errores, a mayor significancia mayor es el riesgo y viceversa.
El nivel de confianza (β) tiene la misma definición anterior, a mayor nivel de confianza menor es el riesgo de cometer errores.
3.3 METODO DE MONTECARLO
Numerosos actividades de producción, tales como la planeación de procesos, la programación y el mantenimiento, son influidos por incertidumbres, tales como tiempo de trabajos variables, demanda desconocidos y fallas.
Las simulaciones de actividades inciertas que implican un proceso estocástico del muestreo comúnmente son conocidos como Método Montecarlo.
La simulación Montecarlo usa observaciones aleatorias de una distribución de probabilidad para duplicar el patrón de variabilidad en el sistema que se estudia.
EJEMPLO:
Un planeador de procesos esta trabajando en la elaboración de los planes para producir un nuevo detergente. Desea simular una demanda de materia prima para planear adecuadamente el manejo de materiales en las instalaciones de mantenimiento. Con base en el consumo de un producto similar introducido anteriormente, el planeador a desarrollado una distribución de frecuencia de la demanda de toneladas/días en un periodo de 2 meses. Utilizando estos datos simule los requerimientos de materia prima en 7 periodos.
|
DEMANDA X Ton/día |
FRECUENCIAS Núm. días |
|
10 11 12 13 14 15 |
6 18 15 12 6 3 |
60 días
Paso 1.- Los datos están dados en frecuencias
Paso 2.- Hacer la tabla de distribución
|
DEMANDA (X) Ton/día |
FRECUENCIA Núm. días |
PROBABILIDAD f(x) |
PROBABILIDAD ACOMULADA F(X) |
|
10 11 12 13 14 15 |
6 18 15 12 6 3 |
0.10 0.30 0.25 0.20 0.10 0.05 |
0.10 0.40 0.65 0.85 0.95 1.00 |
60 días
Paso 3.- Enseguida asígnese intervalo de números aleatorios para que el numero de valores disponibles en cada clase corresponda a la probabilidad.
TABLA DE INTERVALO
|
DEMANDA (X) Ton/día |
PROBABILIDAD f(x) |
INTERVALO DE PROBABILIDAD |
|
10 11 12 13 14 15 |
0.10 0.30 0.25 0.20 0.10 0.05 |
00 – 09 10 – 39 40 – 64 65 – 84 85 – 94 95 – 99 |
Paso 4.- Se obtienen números aleatorios al azar de los números aleatorios distribuidos uniformemente. En este caso se eligen 7 números aleatorios porque solo requiere materia prima de 7 periodos.
Números aleatorios: 27, 13, 80, 10, 54, 60, 49
TABLA SOLUCION
|
Números aleatorios |
27 |
13 |
80 |
10 |
54 |
60 |
49 |
|
Demanda simulada |
11 |
11 |
13 |
11 |
12 |
12 |
12 |
INSTITUTO TECNOLOGICO DEL ISTMO |
